科技改變生活 · 科技引領(lǐng)未來
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周蒙問了我兩道題
前言：本文作者是龍盤湖國際學(xué)校許莎老師，曾經(jīng)的一位學(xué)生，現(xiàn)就讀重點高中，跑回來問了許老師兩道高中數(shù)學(xué)題，以這兩道題的解讀為例，展現(xiàn)研題的部分過程，原文如下：
周蒙現(xiàn)在在夷陵，以前我在六班替老王上過一節(jié)課，他們就認識了我，然后今年過年來問了我兩道題。
1.棱長為4的正方體有蓋容器內(nèi)放入兩個體積相同的金屬小球（蓋子能夠閉合），則小球半徑的最大值為（ ）
A. 4-2√2 B.2√6-2√3 C.1 D.3-√3
關(guān)于這個題，我的第一反應(yīng)是，他不會畫圖，所以不會計算。尤其是球不會畫，球在立體圖形中不好畫。然后我自己想了一下，我的疑惑是，這兩個球的球心連線會不會在正方體的體對角線上呢？其實我自己也不太好想象這個圖的平面圖像是什么樣。于是我找了兩個健身球和一個盒子擺了一下。
我發(fā)現(xiàn)當(dāng)盒子為長方體的時候球心連線肯定不在體對角線上。那么當(dāng)盒子為正方體時，球心連線會不會在體對角線上呢？
網(wǎng)友的答案是這樣的，當(dāng)然沒有畫圖，因為不好畫。只是用文字進行了敘述。
寫出詳細的證明過程來。
回答：兩球與正方體內(nèi)切說明兩球的圓心分別到切面的距離相等（為圓的半徑）正方體體對角線上的點到最近的三個面的距離相等（當(dāng)點是體心時，到六個面距離都相等）所以兩個球的球心在體對角線上。
根據(jù)網(wǎng)友的回答，我畫出了這樣的圖來進行證明。
過P點作面A’B’C’D’的垂線P’G，作面AA’B’B的垂線PE，作面BB’C’C的垂線PF
∵P在BD’上
∴P’在D’B’上
∵D’B’為∠A’B’C’的角平分線
∴P’E=P’F’
∴PE=PF
∵PG∥DD’
∴PG:DD&39;=BG:BD
∵BD=√2DD&39;
∴BG=√2PG=PH=√2PF
∴PG=PF
∴PG=PF=PE
∴點P為球心
∴與正方體三個面內(nèi)切的球心都在體對角線上
于是這個題就很好畫出正方體對角面上的平面圖，從而開始計算。
在畫圖的過程中，我第一次犯了一個錯誤。
我把圖畫成了這樣，根據(jù)勾股定理，列出方程為：
r2-(4√2+4)r+12=0
這個方程解出來沒有選項的結(jié)果。但是看這個圖好像沒有
表達上的錯誤。于是我覺得肯定是我的圖畫錯了。
錯誤在哪呢？這個圖看上去也挺科學(xué)的啊。
于是我又仔細看了一下第一個實物圖。
發(fā)現(xiàn)了問題的所在，原來我這個平面圖畫的是實物圖
的俯視圖，而從對角面看過去，圓的左右與側(cè)棱是沒有
相切的。這也是同學(xué)們?nèi)菀追傅腻e誤，直觀圖變平面圖
很容易被我們所看見的迷惑。
經(jīng)過修改，我畫出了正確的平面圖像。
∵△O1O2M∽△BD’D
∴
∴
∴
在我的不懈努力下終于把對角面圖畫出來了~
學(xué)生肯定無法在紙上畫出立體圖形，那么我們
就必須讓學(xué)生先從實物觀察入手，然后通過抽象思維
建立模型，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。
因此我認為，幾何學(xué)習(xí)，尤其是立體幾何的學(xué)習(xí)，
動手操作和實際觀察是非常重要的。
數(shù)學(xué)建模應(yīng)該是：實際→數(shù)學(xué)模型→實際
而不是沒有任何感知就讓學(xué)生把圖畫出來進行計算。
后面兩幅圖是我使出了洪荒之力才畫出來的~
太棒了~
希望所有的同學(xué)們能夠有認知能力和畫圖能力，
PS：用斜二側(cè)畫法才是最好看的！
所以在七年級學(xué)習(xí)立體圖形的時候就要貫徹斜二側(cè)畫法
只有斜二側(cè)畫法才能最有立體感且不會讓有的線被擋住。
2.已知函數(shù)
，若
與
的圖像有4個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是 。
這個題目典型的數(shù)形結(jié)合思想，要畫函數(shù)圖像，他說他不會畫第二個函數(shù)的圖像，這個是典型的冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)乘積的形式的圖像。在沒有學(xué)導(dǎo)數(shù)之前，沒有辦法通過導(dǎo)函數(shù)的正負來確定原函數(shù)的增減性。那么我們可以通過一些直觀的判斷來大致確定函數(shù)圖像。
由觀察得當(dāng)x=0的時候，帶入第1式得f(x)=0,那么當(dāng)x=0時，帶入第2式，也是可以得到f(x)=0的。有的同學(xué)就會說，第2個式子取不到0啊，事實上，這只是為了定義域表示的不重復(fù)，我們知道lnx的x為0的時候，函數(shù)值是趨近于負無窮大的，那么2xlnx在x=0的時候，它的值也是為0的。所以說f(x)也是一個在全體實數(shù)上連續(xù)的函數(shù)。因此我們能很快的知道當(dāng)x>0時在x=1的時候f(1)=0。所以說函數(shù)的兩個零點之間一定是先遞減再遞增，因為當(dāng)x在(0,1)之間時f(x)<0。這樣我們就可以大致畫出函數(shù)圖像了。
對于一般函數(shù)函數(shù)的圖像的畫法，除了求導(dǎo)，因為求導(dǎo)比較耗時，有時候有的求導(dǎo)了之后也無法計算，所以我們需要有能夠?qū)竞瘮?shù)的圖像有大致推斷的能力。這在必修1學(xué)習(xí)完第2章就應(yīng)該具備這樣的能力。然而大多數(shù)同學(xué)把基本初等函數(shù)的圖像當(dāng)做一個一個孤立的內(nèi)容去學(xué)習(xí)，沒有找到他們之間的聯(lián)系。所以感覺做函數(shù)的題目舉步維艱，無法判斷單調(diào)性。所以就會有畏難情緒。大多數(shù)時候，我們的恐懼是來自于那些對未知事物的不確定性。對于函數(shù)圖像的不確定性就是學(xué)習(xí)函數(shù)的最大障礙。
下面我們來一起總結(jié)一下如何推斷一些常見的函數(shù)的圖像情況。
這個函數(shù)是我們學(xué)過的對勾函數(shù)，是一個雙曲線，也叫“耐克函數(shù)”。
這是以x=0和y=x為漸近線的一組雙曲線，有最值，無零點。
，如果把對勾函數(shù)的中間改成-號，圖像會變成什么樣呢，很顯然，這個函數(shù)就會有兩個零點。分別為1或-1。當(dāng)x>0時，x當(dāng)然是趨近于+∞，1/x是趨近于+0，因此，x-1/x是趨近于+∞。當(dāng)x趨近于+0的時候，1/x趨近于+∞，那么就說明x-1/x=0-(+∞)，因此，x-1/x趨近于-∞。那么我們就可以判斷出，當(dāng)x>0時，函數(shù)是由-∞遞增到+∞，當(dāng)x=1時有一個零點。而f(x)為奇函數(shù)，因此當(dāng)x<0時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x=-1時有一個零點。這樣我們就畫出了f(x)的圖像。
所以我們總結(jié)一下推斷函數(shù)圖像的方法：
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陳書華