在中考數(shù)學(xué)眾多試題當(dāng)中，函數(shù)與幾何有關(guān)的試題是我們必須要重點(diǎn)關(guān)注的對(duì)象，它不僅能很好考查考生基礎(chǔ)知識(shí)和方法技巧的掌握程度，更能考查考生分析問題和解決問題的能力，屬于綜合應(yīng)用題。

函數(shù)與幾何有關(guān)的試題作為中考數(shù)學(xué)的必考重難點(diǎn)，在中考里占據(jù)著重要的位置，毫不夸張的說全國各地中考?jí)狠S題都屬于此類題型。在解函數(shù)與幾何有關(guān)試題的時(shí)候，大家一定要明白一點(diǎn)，此類綜合問題不像求解單純幾何問題或單純函數(shù)問題那么簡(jiǎn)單，需綜合考慮函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

如在一些問題里需考慮幾何元素之間的函數(shù)關(guān)系問題，解這類問題應(yīng)根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，建立函數(shù)與自變量表示的幾何元素之間的等量關(guān)系等。或者是先根據(jù)函數(shù)解析式求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)(如圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，兩圖像交點(diǎn)等)，其次依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，最后利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式即可使問題獲解。

在中考數(shù)學(xué)里，函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合問題一直是讓考生非常頭疼的試題，它既是重難點(diǎn)問題，又是考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力問題。要想成功解決此類問題，考生除了加強(qiáng)訓(xùn)練，還要培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，注重思維方法的訓(xùn)練，理解數(shù)形結(jié)合思想方法等，定能順利解決問題。

同時(shí)，函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合問題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合是在研究問題時(shí)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮，或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化。通過直角坐標(biāo)系這個(gè)工具，有機(jī)地進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，如在解函數(shù)與幾何的綜合題，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)，同時(shí)充分發(fā)揮形的因素，實(shí)現(xiàn)數(shù)形互動(dòng)，通過坐標(biāo)把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵。

函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合問題分析，典型例題1：

己知：二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的兩個(gè)根．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）請(qǐng)求出該二次函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）如圖1，在二次函數(shù)對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（4）如圖2，連接AC、BC，點(diǎn)Q是線段0B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)0、B重合）．過點(diǎn)Q作QD∥AC交BC于點(diǎn)D，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），當(dāng)△CDQ面積S最大時(shí)，求m的值．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題；綜合題。

題干分析：

（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=ax2+bx+6，可求二次函數(shù)解析式，配方為頂點(diǎn)式，可求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，交拋物線對(duì)稱軸于P點(diǎn)，連接CP，P點(diǎn)即為所求；

（4） 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據(jù)S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積最大時(shí)，m的值．

解題反思：

本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，相似三角形的知識(shí)解題。

在解決此類問題的時(shí)候，我們可以利用函數(shù)圖像，結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)，通過坐標(biāo)這個(gè)特殊量把“形”和“數(shù)”進(jìn)行完美結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。在解決問題的過程中，大家觀察圖形主要是觀察圖形的形狀、大小、位置關(guān)系等，尋找圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，從而求得坐標(biāo)，運(yùn)用推理或計(jì)算得出結(jié)論，借助圖形的幾何直觀來闡明函數(shù)變量之間的某種關(guān)系能使問題簡(jiǎn)單。

同時(shí)函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合問題會(huì)把函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)聯(lián)系起來，求解的關(guān)鍵是要深挖圖形的幾何意義，以形為手段，數(shù)為目的，依靠形的直觀具體，借助坐標(biāo)來表明數(shù)式之間的關(guān)系。

函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合問題分析，典型例題2：

如圖，已知拋物線經(jīng)過定點(diǎn)A（1，0），它的頂點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′，過P′作x軸的平行線交拋物線于B．D兩點(diǎn)（B點(diǎn)在y軸右側(cè)），直線BA交y軸于C點(diǎn)．按從特殊到一般的規(guī)律探究線段CA與CB的比值：

（1）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，寫出拋物線的解析式并求線段CA與CB的比值；

（2）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）時(shí)（m為任意正實(shí)數(shù)），線段CA與CB的比值是否與（1）所求的比值相同？請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題．

題干分析：

（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過A（1，0），設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+1，首先得出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出P&39;點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用△CP′B∽△COA，得出線段CA與CB的比值；

（2）根據(jù)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+m（a≠0），得出y=﹣mx2+m，首先表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用△CP′B∽△COA，得出線段CA與CB的比值．

解題反思：

此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)，得出根據(jù)P′B=√2，再利用△CP′B∽△COA，得出是解決問題的關(guān)鍵．

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兩個(gè)最基本的兩個(gè)量，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，將問題化難為易，化抽象為具體。函數(shù)與幾何有關(guān)的綜合題恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵就是準(zhǔn)確深刻理解函數(shù)與幾何圖形結(jié)合，即點(diǎn)的坐標(biāo)，由坐標(biāo)體現(xiàn)為長(zhǎng)度、角度，或是由長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，也即說數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)換離不開坐標(biāo)。

在函數(shù)關(guān)系式下求解析式問題，或是在幾何圖形下求幾何問題，這類型問題的解決方法是圖形坐標(biāo)化，通過坐標(biāo)這個(gè)切入點(diǎn)，架起數(shù)到形的橋梁，由數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題是以函數(shù)為背景探求幾何性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)，解決幾個(gè)主要點(diǎn)的坐標(biāo)問題，使幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)有機(jī)而自然地結(jié)合起來。

善于利用平面直角坐標(biāo)系，就可以實(shí)現(xiàn)從數(shù)到形，也可從形到數(shù)，即觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，適時(shí)通過坐標(biāo)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系，大大減輕了數(shù)形轉(zhuǎn)換的難度。

函數(shù)與幾何有關(guān)的壓軸題，一直是近年來中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn) 這類試題知識(shí)點(diǎn)眾多，解法靈活，形式多樣，綜合性強(qiáng)，難度大，要求大家具有很強(qiáng)的分析推理能力。

縱觀近幾年各地中考試卷中的函數(shù)與幾何壓軸題，從知識(shí)結(jié)構(gòu)來看可分為兩大類型，即幾何含函數(shù)型和函數(shù)含幾何型，這類題目是以幾何圖形為載體，求幾何圖形中某些幾何量之間的函數(shù)關(guān)系式．其解題方法是利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)，列出幾何元素之間的等量關(guān)系，并將這種關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，最后利用函數(shù)的性質(zhì)解答問題。