按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn)：

（1）求f''(x)；

（2）令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點(diǎn)；

（3）對(duì)于（2）中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0，檢查f''(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)（x0,f(x0)）是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)（x0,f(x0)）不是拐點(diǎn)。

為正確理解拐點(diǎn)的定義，可以參考以下例題。

拐點(diǎn)

拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上指改變曲線向上或向下方向的點(diǎn)，直觀地說拐點(diǎn)是使切線穿越曲線的點(diǎn)（即連續(xù)曲線的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)）。

已知函數(shù)的拐點(diǎn)為斜率最大的點(diǎn)，而斜率的表示為一階導(dǎo)數(shù)，最大值為二階導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)。

y=-x^3+3x-2

y'=-3x^2+3

由一階導(dǎo)數(shù)可以推出，當(dāng)x=0時(shí)，斜率最大為3，即x=0為拐點(diǎn)，代入方程得:

y=-(0)^3+3×0-2=-2，即拐點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)

已可以求二階導(dǎo)數(shù):

y"=-6x

令y"=0→-6x=0→x=0，

代入原方程解得:y=-2。

即拐點(diǎn)為(0，-2)

判斷方法：（1）求這個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；（2）若二階導(dǎo)數(shù)在這個(gè)點(diǎn)的左邊和右邊的正負(fù)性不同，則這個(gè)點(diǎn)就是拐點(diǎn)；若在這個(gè)點(diǎn)的左邊和右邊的正負(fù)性相同，則這個(gè)點(diǎn)就不是拐點(diǎn)。

?拐點(diǎn)的必要條件

設(shè)f(x）在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a,b），若（x0,f(x0））是曲線y=f(x）的一個(gè)拐點(diǎn)，則f‘’（x0)=0。

拐點(diǎn)的充分條件

設(shè)f(x）在（a,b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a,b），則f‘’（x0)=0，若在x0兩側(cè)附近f‘’（x0）異號(hào)，則點(diǎn)（x0,f(x0））為曲線的拐點(diǎn)。否則（即f‘’（x0）保持同號(hào)，（x0,f(x0））不是拐點(diǎn)。

當(dāng)函數(shù)圖像上的某點(diǎn)使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，且三階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，這點(diǎn)即為函數(shù)的拐點(diǎn)。

若函數(shù)y=f(x）在c點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)c一側(cè)是凸，另一側(cè)是凹，則稱c是函數(shù)y=f(x）的拐點(diǎn)。另外，如果c是拐點(diǎn)，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之則不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0兩側(cè)全是凸，所以0不是函數(shù)f(x)=x^4的拐點(diǎn)。

函數(shù)的拐點(diǎn)是事物發(fā)展過程中運(yùn)行趨勢(shì)或運(yùn)行速率的變化，也就是指凸曲線與凹曲線的連接點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)圖像上的某點(diǎn)使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，且三階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，這點(diǎn)即為函數(shù)的拐點(diǎn)。

函數(shù)在數(shù)學(xué)上的定義：給定一個(gè)非空的數(shù)集A，對(duì)A施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（A），得到另一數(shù)集B，也就是B=f（A），那么這個(gè)關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡(jiǎn)稱函數(shù)。

若函數(shù)y=f(x)在c點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)c一側(cè)是凸，另一側(cè)是凹，則稱c是函數(shù)y=f(x)的拐點(diǎn)。我們可以按下列步驟來判斷區(qū)間I上的連續(xù)曲線y=f(x)的拐點(diǎn)： （1）求f''(x)； （2）令f''(x)=0，解出此方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)f''(x)不存在的點(diǎn)； （3）對(duì)于（2）中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0，檢查f''(x)在x0左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)（x0,f(x0)）是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)（x0,f(x0)）不是拐點(diǎn)。