作者 | 劉瑞祥

為什么會(huì)有不等式這種東西？有人會(huì)從哲學(xué)上說(shuō)“相等是相對(duì)的，不等是絕對(duì)的”，但這不是我今天要說(shuō)的問(wèn)題。不等式是和實(shí)數(shù)的“三歧性公理”密切相關(guān)的。這條公理是說(shuō)，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，有且只有a＞b、a＝b、a＜b之一。這是所謂實(shí)數(shù)“序結(jié)構(gòu)”公理之一，而按照布爾巴基學(xué)派的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)就是研究結(jié)構(gòu)的學(xué)科。

但這有什么用呢？一個(gè)比較容易看出的用處是，如果我們直接證明a＝b困難，那不妨證明a＞b不可能，然后再證明a＜b也不可能（往往一句“同理可證”就行了），就能得到結(jié)論了。而在古希臘，這種方法頻繁地用于所謂“窮竭法”中，以此來(lái)推出圓面積、棱錐和球的體積公式。這在《幾何原本》里有詳細(xì)的論述。

《幾何原本》里用到三歧性公理的還有比例定義，據(jù)說(shuō)這是歐多克斯所給出的：

有四個(gè)量，第一量比第二量與第三量比第四量叫做相同比，如果對(duì)第一與第三個(gè)量取任何同倍數(shù)，又對(duì)第二與第四個(gè)量取任何同倍數(shù)，而第一與第二倍量之間依次有大于、等于或小于的關(guān)系，那么第三與第四倍量之間便有相應(yīng)的關(guān)系。

即：設(shè)a、b是同類(lèi)的兩個(gè)量，c、d也是同類(lèi)的兩個(gè)量，對(duì)任何的正整數(shù)m與n，若三個(gè)關(guān)系式ma＞nb、ma＝nb、ma＜nb之一成立，必有mc＞nd、mc＝nd、mc＜nd中對(duì)應(yīng)的那個(gè)成立，則稱(chēng)a、b、c、d成比例。

這個(gè)定義所以如此繁瑣，是因?yàn)橐荛_(kāi)“無(wú)理量”運(yùn)算。以 為例，說(shuō)它和另外一個(gè)量加減很容易，只要在線(xiàn)段上順次或者反向截取就行，讓它乘以另外一個(gè)量則只要給出一個(gè)面積就行，讓它除以一個(gè)整數(shù)的話(huà)需要等分，也完全能作到。但是要讓無(wú)理量作除數(shù)可就麻煩大了：你怎么證明 除以 等于 除以2？這需要有嚴(yán)密的理論，在古希臘就用前面的比例定義結(jié)合由此推出來(lái)的定理進(jìn)行計(jì)算。

話(huà)說(shuō)到這里，我想起了我高中時(shí)想到的一個(gè)問(wèn)題：比如指數(shù)函數(shù)y=2^x，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)（不論正負(fù)）沒(méi)有問(wèn)題，可以得到一個(gè)精確的結(jié)果，取分?jǐn)?shù)可以看作開(kāi)方，但是書(shū)里給的圖像是一條連續(xù)的曲線(xiàn)（自然，那時(shí)我還沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)“連續(xù)”這個(gè)詞），而且定義域也是全體實(shí)數(shù)。所以一個(gè)顯而易見(jiàn)的疑惑是，如果x取無(wú)理數(shù)怎么辦？我的小腦袋當(dāng)然不可能對(duì)這個(gè)問(wèn)題有太深刻的思索，但我當(dāng)時(shí)已經(jīng)想到，是不是可以這樣：以x=3.14159……為例，可以先讓x=3，然后再讓x等于3.1、3.14、3.141……，大概就會(huì)慢慢接近于真正的結(jié)果了。

類(lèi)似的問(wèn)題反復(fù)出現(xiàn)。比如某個(gè)非常數(shù)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(a+b)=f(a)f(b)，當(dāng)時(shí)老師給出的問(wèn)題是求f(0)，方法是令a和b之一為0，但是我進(jìn)一步想到這不就是指數(shù)函數(shù)嗎？但是怎么證明呢？對(duì)于自變量取有理數(shù)的情況很好處理，可自變量取無(wú)理數(shù)怎么辦？還有比如一個(gè)三角形正投影到另外一個(gè)平面上，形成的新三角形面積和原來(lái)三角形的面積之比為cosθ（θ為原三角形所在平面與投影面的夾角），這個(gè)結(jié)論擴(kuò)展為一般的多邊形很容易，但能不能用這個(gè)關(guān)系推導(dǎo)出橢圓面積公式？這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)我已經(jīng)看過(guò)這個(gè)式子但沒(méi)有過(guò)程，而且當(dāng)時(shí)我也不會(huì)微積分。要用這里提到的投影方法推導(dǎo)橢圓面積，必須證明面積具有可加性。

很多人贊頌過(guò)《幾何原本》比例論的巧妙，但這個(gè)比例定義曾經(jīng)困擾過(guò)許多歐洲數(shù)學(xué)家，使他們很長(zhǎng)時(shí)間都不能接受負(fù)數(shù)：因?yàn)?:(-1)=(-1):1，大比小卻等于小比大，這怎么可能呢？

下面回到《幾何原本》。書(shū)中第五公理說(shuō)到：“整體大于部分”，這是全書(shū)唯一一個(gè)關(guān)于不等關(guān)系的公理。但這一定是正確的嗎？比如全體實(shí)數(shù)和某個(gè)區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)孰多孰少？看，如果我們關(guān)心的不是“長(zhǎng)度”而是“多少”，立馬就不一樣了。這涉及集合的“勢(shì)”的概念。一個(gè)中學(xué)生可能天然地認(rèn)為“實(shí)數(shù)比有理數(shù)多”的結(jié)論卻不能接受“整數(shù)和有理數(shù)一樣多”，盡管兩者都是正確的，但即使對(duì)于前者其實(shí)也并無(wú)了解，也就是說(shuō)，他和康托所認(rèn)為的并不是一回事。

《幾何原本》和不等式有關(guān)的另外一個(gè)比較重要的東西涉及到【X.1】，歐幾里得用【V.定義4】——一個(gè)量的若干倍大于另一量，就說(shuō)這兩個(gè)量有一個(gè)比——來(lái)論述不可公度量（即今之無(wú)理數(shù)）的存在。而這個(gè)定義后來(lái)被阿基米德改造為一條公理，再以后被希爾伯特吸收在了他的《幾何基礎(chǔ)》里。

希望讀者們能深入讀一讀《幾何原本》和《幾何基礎(chǔ)》。