這是賽先生2017科普創(chuàng)作協(xié)同行動(dòng)的第9篇文章。撰文：余小魯責(zé)編：李娟韓琨e是什么？讓我們先嘗試回答一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題：e是什么？這個(gè)問(wèn)題也許有一百個(gè)答案，筆者無(wú)法判斷哪個(gè)答案最為美妙、自然、深刻，但可以確信，最直接最乏味的答案是：e=2.

這是賽先生2017科普創(chuàng)作協(xié)同行動(dòng)的第9篇文章。

撰文：余小魯

責(zé)編：李娟 韓琨

e是什么？

讓我們先嘗試回答一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題：e是什么？

這個(gè)問(wèn)題也許有一百個(gè)答案，筆者無(wú)法判斷哪個(gè)答案最為美妙、自然、深刻，但可以確信，最直接最乏味的答案是：

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……（小數(shù)點(diǎn)后五十位）

一個(gè)調(diào)皮神秘的記號(hào)e，變成了一堆數(shù)字的堆砌，這大概不會(huì)是讀者們投票選題所要的答案。那么，筆者嘗試給出第二個(gè)答案：e是所有數(shù)學(xué)常數(shù)中，跟我們口袋里的“銀子”關(guān)系最大的一個(gè)。

e與金錢的關(guān)系可以追溯到1683年。當(dāng)時(shí)，雅各布?伯努利（在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，稱呼伯努利要特別小心，因?yàn)椴易逯辽儆邪宋恢臄?shù)學(xué)家，對(duì)我們來(lái)說(shuō)，他們都叫伯努利）思考了這樣一個(gè)問(wèn)題：你的賬戶里面有一塊錢，假設(shè)一年銀行給你的利息是100%。如果利息在年終一次性結(jié)算，過(guò)了一年你的帳戶里面就有兩塊錢啦。但如果把這個(gè)利息拆散，多發(fā)幾次會(huì)如何？

舉個(gè)例子，一年發(fā)兩次，也就是六個(gè)月發(fā)一次50%的利息，一年后你將有(1+0.5)^2=2.25塊錢。如果每個(gè)月發(fā)一次1/12的利息，那么一年之后你將有(1+1/12)^12=2.61塊錢。伯努利非常開(kāi)心地發(fā)現(xiàn)，這么算會(huì)讓自己更富有，就開(kāi)始認(rèn)真研究：如果一年發(fā)無(wú)數(shù)次利息的話，自己一塊錢的帳戶將會(huì)變成：(1+1/n)^n=? （當(dāng)n趨于正無(wú)窮大）

伯努利首先注意到，當(dāng)n趨于正無(wú)窮大，這個(gè)式子的極限是存在的，而且他用二項(xiàng)式展開(kāi)證明了極限值在2和3之間。也就是說(shuō)，你不會(huì)因此變成世界上最富的人。如果大家有興致自己去算這個(gè)式子的值（比如說(shuō)n等于一萬(wàn)），那么將會(huì)回到文章開(kāi)頭最乏味的答案的一小部分。

如果大家不是太貪心，只是想讓自己口袋里的錢翻倍而已，筆者可以教大家一個(gè)有趣的口算辦法。舉一個(gè)最熟悉的例子，你買了只股票天天漲停（一天10%），七天就翻倍了。如果天天漲6%，幾天翻倍呢？大約12天。口算的公式特別簡(jiǎn)單：xy=72。

每天漲x％，那么翻倍需要的天數(shù)大約為y天。比如說(shuō)，每天賺一個(gè)點(diǎn)，x＝1，那么y＝72。72天之后，你的錢有(1+1%)^72=2.04。學(xué)會(huì)了xy=72這個(gè)公式，大家可以在家里掐指算一下自己發(fā)財(cái)?shù)臅r(shí)間（圖1）。這條公式，其實(shí)無(wú)非說(shuō)的就是中文里面利滾利的“滾”字，非常生動(dòng)。

說(shuō)回伯努利發(fā)現(xiàn)了跟金錢關(guān)系最大的復(fù)利，極限居然就是我們文章的主題e=(1+1/n)^n（當(dāng)n趨于正無(wú)窮大），但伯努利并沒(méi)有稱呼這個(gè)東西叫做“e”。

圖1. “復(fù)利是世界上最偉大的力量”——愛(ài)因斯坦（圖片來(lái)源：pinterest）

歐拉與e

第一個(gè)用e來(lái)表示上面復(fù)利公式的極限的，是另一位大數(shù)學(xué)家——?dú)W拉。事實(shí)上，歐拉有無(wú)數(shù)得意之作，跟e相關(guān)的工作可稱為他的代表作，必須用自己的名字Euler的首字母來(lái)表示。（這個(gè)猜測(cè)可能是小人之心，也許e就是指數(shù)expotential的首字母而已，大家姑且聽(tīng)之。）e在數(shù)學(xué)上稱為歐拉數(shù)（Euler’s Number）。注意，這不是歐拉常數(shù)（Euler’s Constant），歐拉常數(shù)是用另外一個(gè)美麗的記號(hào)來(lái)表示。其實(shí)，這個(gè)區(qū)分是一種繁文縟節(jié)。叫歐拉數(shù)的還有很多，流體力學(xué)里面的歐拉數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)里面的歐拉數(shù)……每一個(gè)都代表了歐拉在其領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)。世人艷稱的最美數(shù)學(xué)公式e^(i)+1=0，就出自歐拉之手。

關(guān)于歐拉與e相關(guān)的種種重要貢獻(xiàn)，作者在此不再一一介紹。現(xiàn)在只說(shuō)歐拉一個(gè)看起來(lái)非常平庸的工作。這個(gè)工作就是手算，有足夠的草稿紙和足夠的鉛筆，一個(gè)初中生懂得加減乘除就可以得到歐拉這個(gè)工作的結(jié)果。但實(shí)際上，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)史專家都沒(méi)弄明白歐拉自己是怎么做到的。

1748年，歐拉出版了《無(wú)窮小分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum，也作《無(wú)窮小分析導(dǎo)論》），在這本書中，他把e手算到了小數(shù)點(diǎn)后十八位！即

e=2.718281828459045235

筆者實(shí)在無(wú)法想象，在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的年代，究竟是如何做到的。如果我們最直接的用伯努利的利滾利公式，收斂也是不可思議的慢，如1.001^1000=2.717，小數(shù)點(diǎn)后第三位都到不了。類似的道理，用e=1+1/1!+1/2!+1/3!+…來(lái)手算，要得到這個(gè)精度，大約要算到前20項(xiàng)。大家可以想象一下，手算20的階乘的倒數(shù)，是怎樣的一種體驗(yàn)。

歐拉自己發(fā)明了e的很多其他表達(dá)式，如一些看起來(lái)特別詭異的連分式。但無(wú)論用哪一種表達(dá)式手算，要算到18位，都很難想象（注：幾年后，歐拉給出了e的前23位）。一種比較合理的猜測(cè)，就是歐拉找到了一個(gè)巧妙計(jì)算e的辦法，要么是收斂快的級(jí)數(shù)表達(dá)，要么是用概率論相關(guān)的實(shí)驗(yàn)大數(shù)統(tǒng)計(jì)。歐拉的全集到現(xiàn)在還沒(méi)出完，已經(jīng)出到80卷，接近三百斤重！全集內(nèi)容浩如煙海，有十七卷屬于數(shù)學(xué)分析，被稱為“分析的化身”，其他主要包括數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、邏輯學(xué)和音樂(lè)的數(shù)學(xué)理論。

對(duì)于這么重要的數(shù)學(xué)常數(shù)，很多人都想多記住幾位，沒(méi)事可以在朋友面前耍酷。那么，請(qǐng)大家跟我念下面這句話：By omnibus I traveled to Brooklyn（俺坐公車去了布魯克林）——這是美國(guó)人對(duì)e的記憶法，傻得非?？蓯?ài)。by有兩個(gè)字母，omnibus有七個(gè)字母，以此類推，記住了這句話，就記住了e=2.71828。據(jù)說(shuō)還有更傻的句子，能記十一位的，筆者在此就不推薦了。

其實(shí)，中國(guó)也有一套歷史悠久的傳統(tǒng)編碼系統(tǒng)——用漢字在《千字文》中出現(xiàn)的次序來(lái)排序（天地玄黃、宇宙洪荒……），古代科舉考場(chǎng)的房間號(hào)就是這么排的（圖2）。很多人熟悉的“‘天’字第一號(hào)”的說(shuō)法，也正是出自《千字文》。至于e，記住四個(gè)字就夠用了——地洪天荒，這四個(gè)字在《千字文》中出現(xiàn)的次序（2、7、1、8）排在一起，便可記住e=2.718。

圖2. 明清科舉考場(chǎng)的房間編號(hào)，局部來(lái)自《千字文》中“劍號(hào)巨闕，珠稱夜光”。

e與自然究竟有什么關(guān)系？

下面讓我們來(lái)說(shuō)一說(shuō)，e為什么叫自然底數(shù)。自然底數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)以e為底數(shù)，為什么就自然了？換言之，e為底數(shù)的自然性在哪里？

自然性（naturalness）是科學(xué)探索中一個(gè)永恒的主題。中文的“自然”，語(yǔ)出老子的《道德經(jīng)》：道法自然。如果把“法”字作為動(dòng)詞理解，那么科學(xué)對(duì)“道”的探索必須有某種自然性。不過(guò)，要對(duì)自然性作一個(gè)良好的定義，無(wú)疑是困難的。先舉一個(gè)粗淺的例子，我們測(cè)量身高時(shí)，如果以公里為單位去測(cè)量，一米七五高的人，說(shuō)他有0.00175公里高，便顯然很不自然。單位是某種標(biāo)尺，計(jì)算身高跟這個(gè)標(biāo)尺的比值，得到一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)字（如0.00175）。無(wú)量綱量是一個(gè)沒(méi)有單位的數(shù)字，如圓周率，等于一個(gè)圓的周長(zhǎng)和直徑的比值。

無(wú)量綱的數(shù)字在物理學(xué)中有重要的地位，物理學(xué)的自然性就是期待一個(gè)好的物理學(xué)理論，其中的無(wú)量綱參數(shù)不能太大，也不能太小。對(duì)物理自然性更技術(shù)一點(diǎn)的定義是：一個(gè)小的無(wú)量綱參數(shù)可以被認(rèn)為是自然的，只有當(dāng)這個(gè)小無(wú)量綱參數(shù)趨于零時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出新的對(duì)稱性。也就是說(shuō)，一個(gè)太小或太大的無(wú)量綱參數(shù)只有在這種情況下可以被容忍。

在標(biāo)準(zhǔn)模型里面，費(fèi)米子的質(zhì)量相比于對(duì)應(yīng)的能量標(biāo)尺，顯得非常小，但當(dāng)費(fèi)米子的質(zhì)量趨于零的時(shí)候，有新的手征對(duì)稱性呈現(xiàn)出來(lái)，因此，我們認(rèn)為費(fèi)米子這個(gè)小質(zhì)量是自然的。但是標(biāo)量玻色子（如希格斯粒子）的質(zhì)量相比于對(duì)應(yīng)的大統(tǒng)一理論能量標(biāo)尺，小得很不自然，因?yàn)闃?biāo)量粒子的質(zhì)量趨于零的時(shí)候并沒(méi)有新的對(duì)稱性呈現(xiàn)出來(lái)，這也就是當(dāng)今物理學(xué)的一大難題，稱為等級(jí)差問(wèn)題（hierarchy problem）。等級(jí)差問(wèn)題的本質(zhì)就是自然性。

回到數(shù)學(xué)上的自然性，以e為底的對(duì)數(shù)自然嗎？那以10為底的對(duì)數(shù)是不是更為自然？

以10來(lái)計(jì)數(shù)，并沒(méi)有數(shù)學(xué)上的自然性，只是一種文化屬性。易經(jīng)可以用二進(jìn)制，一斤可以是十六兩也就是半斤八兩，很難說(shuō)哪個(gè)更為自然。一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)，無(wú)論以什么為底數(shù)，都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是1的對(duì)數(shù)都為0。但在自變量為1的地方，對(duì)數(shù)函數(shù)曲線的斜率則取決對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)，只有把底數(shù)取為e時(shí)，斜率剛剛好為1。那么，斜率為1就自然了嗎？我們可以用簡(jiǎn)單的泰勒展開(kāi)式來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題：log(1+0.01)=log(1)+(斜率)× 0.01+...那么以e為底的話，1.01的對(duì)數(shù)值非常接近0.01，0.99的對(duì)數(shù)值非常接近于-0.01（log(1-0.01)=log(1)?(斜率)× 0.01+…）。

對(duì)照前面對(duì)物理學(xué)自然性的分析，讓我們從物理學(xué)的角度看看何謂斜率。我們走上一個(gè)山坡時(shí)，上坡的斜率就是山坡的高度和寬度的比值，這是一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)。把上面的泰勒展開(kāi)式看成一個(gè)物理學(xué)理論，那么，這個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)不能太大也不能太小，等于1的時(shí)候最為自然。

自然性是天生的一種美學(xué)性質(zhì)，有人就被e的美麗所迷惑，做出了很有趣的事情。大計(jì)算機(jī)科學(xué)家Donald Knuth創(chuàng)造的編程語(yǔ)言metafont，一出來(lái)就是第二版，然后就發(fā)布了2.7版，2.71版……到現(xiàn)在是2.7182818版。Google公司在2004年申請(qǐng)首次公開(kāi)募股的時(shí)候，要募多少錢呢？$2,718,281,828。所以，看完這篇文章的朋友，以后過(guò)年發(fā)紅包的時(shí)候不妨考慮一下2718元這個(gè)數(shù)字。

參考文獻(xiàn)：

1. J . O’Connor and E. Robertson, "The number e".MacTutor History of Mathematics.

2. B. Malkiel, A Random Walk Down WallStreet, W. W. Norton & Company, Inc.

3. M. Gardner, "Memorizing Numbers." Ch. 11 in The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.

4. A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition, Princeton University Press.

作者介紹：中山大學(xué)物理學(xué)博士，中國(guó)科學(xué)院物理研究所博士后，2013-2014年曾任美國(guó)密西西比州立大學(xué)研究學(xué)者，主要研究量子場(chǎng)論和凝聚態(tài)物理理論的交叉應(yīng)用。

《賽先生》第四輪選題發(fā)布，期待你來(lái)創(chuàng)作！

1. 我們到底需要多少睡眠時(shí)間？

2. “音樂(lè)療法”有神經(jīng)科學(xué)基礎(chǔ)嗎？

3. 為什么會(huì)有人“路癡”？

4. 人類的血型為何會(huì)有區(qū)分？

5. 你愛(ài)掛在嘴邊的“腦補(bǔ)”，究竟是怎么產(chǎn)生的？

6. “球狀閃電”究竟是怎么一回事？

7. 為什么會(huì)有人“暈車”“暈船”？

8. 昆蟲(chóng)可以成為人類的營(yíng)養(yǎng)來(lái)源嗎？

如果以上有你感興趣的選題，請(qǐng)迅速跟“小賽”（微信id：saixiansheng2017）微信聯(lián)系，也歡迎發(fā)郵件至 saixiansheng@zhishifenzi.com 與我們進(jìn)一步溝通！

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